已知雙曲線Γ1：與圓Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交於點A（xA，yA）（第一象限），曲線Γ為Γ1、Γ2...

問題詳情：

已知雙曲線Γ1：與圓Γ2：x2+y2=4+b2（b＞0）交於點A（xA，yA）（第一象限），曲線Γ為Γ1、Γ2上取滿足x＞|xA|的部分．

（1）若xA=，求b的值；

（2）當b=，Γ2與x軸交點記作點F1、F2，P是曲線Γ上一點，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；

（3）過點D（0，）斜率為-的直線l與曲線Γ只有兩個交點，記為M、N，用b表示，並求的取值範圍．

【回答】

（1）2     （2）arccos   （3）（6+2，+∞）

【解析】解：（1）由xA=，點A為曲線Γ1與曲線Γ2的交點，聯立，解得yA=，b=2；

（2）由題意可得F1，F2為曲線Γ1的兩個焦點，

由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|=8，2a=4，

所以|PF2|=8-4=4，因為b=，則c==3，

所以|F1F2|=6，

在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2==

由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2=arccos；

（3）設直線l：，可得原點O到直線l的距離d=,所以直線l是圓的切線，設切點為M，

所以kOM=，並設OM：y=x與圓x2+y2=4+b2聯立，可得x2+=4+b2，

可得x=b，y=2，即M（b，2），

注意直線l與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，

所以只有當yA＞2時，直線l才能與曲線Γ有兩個交點，

由，

所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2-2（捨去），

因為為在上的投影可得，=4+b2，

所以=4+b2＞6+2，

則∈（6+2，+∞）．

【考點】平面向量數量積的*質及其運算；直線與雙曲線的綜合．

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、*質與方程；數學運算．

【分析】（1）聯立曲線Γ1與曲線Γ2的方程，以及xA=，解方程可得b；

（2）由雙曲線的定義和三角形的餘弦定理，計算可得所求角；

（3）設直線l：，求得O到直線l的距離，判斷直線l與圓的關係：相切，可設切點為M，考慮雙曲線的漸近線方程，只有當yA＞2時，直線l才能與曲線Γ有兩個交點，解不等式可得b的範圍，由向量投影的定義求得，進而得到所求範圍．

【點評】本題考查雙曲線與圓的定義和方程、*質，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的聯立，以及向量的數量積的幾何意義，考查方程思想和化簡運算能力，屬於中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題