如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上．F為上一點，連接F...

問題詳情：

如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上．F為上一點，連接FE並延長交AC的延長線於點N，交AB於點M．

（1）若∠EBD為α，請將∠CAD用含α的代數式表示；

（2）若EM=MB，請説明當∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線；

（3）在（2）的條件下，若AD=，求的值．

【回答】

解：（1）連接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，

∴∠EDB=∠EBD=α，

∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，

⊙D中，∵DC=DE=AD，

∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，

△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，

∴∠CAD==；

（2）設∠MBE=x，

∵EM=MB，

∴∠EMB=∠MBE=x，

當EF為⊙D的切線時，∠DEF=90°，

∴∠CED+∠MEB=90°，

∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，

△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，

∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，

∴∠CAD=45°；

（3）由（2）得：∠CAD=45°；

由（1）得：∠CAD=；

∴∠MBE=30°，

∴∠CED=2∠MBE=60°，

∵CD=DE，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CD=CE=DE=EF=AD=，

Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，

∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，

△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，

△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，

∴∠CNE=75°，

∴∠CNE=∠NCB=75°，

∴EN=CE=，

∴===2+．

【點評】本題考查三角形內角和定理、三角形的外角的*質、等腰三角形的*質和判定等知識，解題的關鍵是學會利用三角形角之間的關係確定邊的關係，學會構建方程解決問題，屬於中考常考題型．

知識點：各地中考

題型：解答題