已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左...

問題詳情：

已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．

(1)求雙曲線C2的方程；

(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恆有兩個不同的交點A和B，且·＞2(其中O為原點)，求k的取值範圍．

【回答】

解析：(1)設雙曲線C2的方程為－＝1，

則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故C2的方程為－y2＝1.

(2)將y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2) x2－6kx－9＝0.

由直線l與雙曲線C2交於不同的兩點，得

∴k2≠且k2＜1，①

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2

＝.

又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，

解得＜k2＜3.②

由①②，得＜k2＜1.

故k的取值範圍為

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題