問題詳情：
如圖所示橢圓
的左、右頂點分別為
，
，上、下頂點分別為
，
，右焦點為
，
，離心率
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作斜率為
的直線
與橢圓
交於點
，
（點
在第一象限），直線
與直線
交於點
，求點
的座標.
【回答】
（1）
；（2）
.
【分析】
（1）根據
及
可求
的值，從而可得橢圓的方程.
（2）聯立直線方程和橢圓方程可求
的座標，再求得直線
的方程後可得點
的座標.
【詳解】
解：（1）由
及
，
可知
，
所以
，
所以橢圓
的方程為
.
（2）依題可設過點
且斜率為
的直線
，
，
，
聯立方程組
，
解得
，
，則
，
，
所以
，
，
由（1）知，
，
.
所以直線
，①
直線
，②
由①②，解得
，
所以點
的座標為
.
【點睛】
本題考查橢圓方程的求法、直線與橢圓的相交時交點座標的求法、直線與直線的交點的求法，後兩者均需聯立曲線的方程，消元后求解即可，本題屬於中檔題.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
國文精選館
