(1)已知函數f(x),x∈R,若對於任意實數a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求*:f(x)為奇...

問題詳情：

(1)已知函數f(x),x∈R,若對於任意實數a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求*:f(x)為奇函數;

(2)已知函數f(x),x∈R,若對於任意實數x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求*:f(x)是偶函數;

(3)設函數f(x)定義在(-l,l)內,求*:f(x)+f(-x)是偶函數,f(x)-f(-x)是奇函數.

【回答】

*(1)函數f(x)的定義域為R,關於原點對稱.

設a=0,則f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.

設a=-x,b=x,則f(0)=f(-x)+f(x),

即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函數.

(2)函數f(x)的定義域為R,關於原點對稱.

設x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).        ①

設x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).         ②

由①②,得f(-x)=f(x).

故f(x)是偶函數.

(3)由於對任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),

可見,f(-x)的定義域也是(-l,l).

若設F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),

則F(x)與G(x)的定義域也是(-l,l),顯然是關於原點對稱的區間.

∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),

∴F(x)是偶函數,G(x)是奇函數,

即f(x)+f(-x)是偶函數,f(x)-f(-x)是奇函數.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題