已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f...

問題詳情：

已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數．

(1)求a，b的值；

(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恆成立，求k的取值範圍．

【回答】

解　(1)因為f(x)是R上的奇函數，

所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，

從而有f(x)＝.                                                    [4分]

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，

解得a＝2.                                                             [7分]

(2)方法一　由(1)知f(x)＝，

又由題設條件得<0，

即<0.                        [9分]

整理得>1，因底數2>1，故3t2－2t－k>0.                          [12分]

上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，

解得k<－.                                                               [14分]

方法二　由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上為減函數，又因為f(x)是奇函數，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價於f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因為f(x)是R上的減函數，

由上式推得t2－2t>－2t2＋k.                                             [12分]

即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，

從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.                                         [14分]

知識點：不等式

題型：解答題