如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異於點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ...

問題詳情：

如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異於點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB於點Q，PM∥OB交OA於點M．

（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求*：CN⊥OB．

（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．

①問：－的值是否發生變化？如果變化，求出其取值範圍；如果不變，請説明理由．

②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值範圍．

【回答】

解：（1）過P作PE⊥OA於E，

∵PQ∥OA，PM∥OB，

∴四邊形OMPQ為平行四邊形，

∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，

∴PE=PM•sin60°=，ME=，

∴CE=OC﹣OM﹣ME=，

∴tan∠PCE==，

∴∠PCE=30°，

∴∠CPM=90°，

又∵PM∥OB，

∴∠CNO=∠CPM=90°，

則CN⊥OB；

（2）①﹣的值不發生變化，理由如下：

設OM=x，ON=y，

∵四邊形OMPQ為菱形，

∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，

∵PQ∥OA，

∴∠NQP=∠O，

又∵∠QNP=∠ONC，

∴△NQP∽△NOC，

∴=，即=，

∴6y﹣6x=xy．兩邊都除以6xy，得﹣=，即﹣=．

②過P作PE⊥OA於E，過N作NF⊥OA於F，

則S1=OM•PE，S2=OC•NF，

∴=．

∵PM∥OB，

∴∠PMC=∠O，

又∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO，

∴==，

∴==﹣（x﹣3）2+，

∵0＜x＜6，

則根據二次函數的圖象可知，0＜≤．

知識點：相似三角形

題型：綜合題