已知函數f(x)＝ln(x＋1)－－x，a∈R.(1)當a>0時，求函數f(x)的單調區間；(2)若存在...

問題詳情：

已知函數f(x)＝ln (x＋1)－－x，a∈R.

(1)當a>0時，求函數f(x)的單調區間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－(a∈Z)成立，求a的最小值．

【回答】

 解　(1)f′(x)＝，x>－1.

當a≥時，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減．

當0<a<時，

當－1<x<時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當<x<時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x>時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．

綜上，當a≥時，f(x)的單調遞減區間為(－1，＋∞)；

當0<a<時，f(x)的單調遞減區間為，，

f(x)的單調遞增區間為.

(2)原式等價於ax>(x＋1)ln (x＋1)＋2x＋1，

即存在x>0，使成立．

設，x>0，

則，x>0，

設h(x)＝x－1－ln (x＋1)，x>0，

則h′(x)＝1－>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

又h(2)<0，h(3)>0，根據零點存在*定理，可知h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，設該零點為x0，則x0－1＝ln (x0＋1)，且x0∈(2,3)，

∴

又a>x0＋2，a∈Z，∴a的最小值為5.

知識點：導數及其應用

題型：解答題