問題詳情:
已知a∈R,函數f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)當a=2時,求函數f(x)的單調區間;
(2)若函數f(x)在(-1,1)上單調遞增,求a的取值範圍.
【回答】
(1)見解析(2)
【分析】
(1)求出a=2的函數f(x)的導數,令導數大於0,得增區間,令導數小於0,得減區間;
(2)求出f(x)的導數,由題意可得f′(x)≥0在(﹣1,1)上恆成立,即為a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0,再由二次函數的圖象和*質,得到不等式組,即可解得a的範圍.
【詳解】
(1)a=2時,f(x)=(﹣x2+2x)•ex的導數為
f′(x)=ex(2﹣x2),
由f′(x)>0,解得﹣<x<,
由f′(x)<0,解得x<﹣或x>.
即有函數f(x)的單調減區間為(﹣∞,﹣),(,+∞),
單調增區間為(﹣,).
(2)函數f(x)=(﹣x2+ax)•ex的導數為
f′(x)=ex,
由函數f(x)在(﹣1,1)上單調遞增,
則有f′(x)≥0在(﹣1,1)上恆成立,
即為a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0,
則有1+(a﹣2)﹣a≤0且1﹣(a﹣2)﹣a≤0,
解得a≥.
則有a的取值範圍為.
【點睛】
本題考查函數的單調*的判斷和運用,同時考查導數的運用:求單調區間和判斷單調*,屬於中檔題和易錯題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題