已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.(1)求函數f(x)的解析式,並求出f(x)的單調遞增...

問題詳情：

已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數f(x)的解析式,並求出f(x)的單調遞增區間.

(2)將函數f(x)的圖象上各個點的橫座標擴大到原來的2倍,再將圖象向右平移個單位,得到g(x)的圖象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求實數a的取值範圍.

【回答】

【解析】(1)設函數f(x)的週期為T,由圖象可知=-=.所以T=π,

即=π,又ω>0,解得ω=2.

所以f(x)=sin(2x+φ).

因為點在函數f(x)的圖象上,

所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,

解得φ=+2kπ,k∈Z.

又因為|φ|<,所以φ=.

所以f(x)=sin.

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),

解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

所以f(x)的單調遞增區間為(k∈Z).

(2)經過圖象變換,得到函數g(x)=f=sin x.

於是問題即為“存在x∈,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.

即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈上有解.

令t=sin x∈[0,1],則2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,

因為-2t2+3t+1=-2+∈,

所以2a∈,即實數a的取值範圍為.

知識點：三角函數

題型：解答題