設直線交橢圓於兩點，交直線於點．（1）若為的中點，求*：；（2）寫出上述命題的逆命題並*此逆命題為真；（3）...

問題詳情：

設直線交橢圓於兩點，交直線於點．

（1）若為的中點，求*：；

（2）寫出上述命題的逆命題並*此逆命題為真；

（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結論，寫出雙曲線中類似*質的結論（不必*）．

【回答】

1）解法一：設

……… …2分

 ，… ……4分

又…… ………7分

解法二（點差法）：設

，

兩式相減得

即……………………… ………3分

 ………………………………………………………………………7分

（2）逆命題：設直線交橢圓於兩點，交直線於點．若，則為的中點． ……9分

*法一：由方程組

…………………………………… ……………10分

因為直線交橢圓於兩點，

所以，即，設、、

則 ，……………………12分

又因為，所以

，故E為CD的中點．……………………………14分

*法二：設

則，

兩式相減得

即………………………………………………………9分

又，即    ……………………………………………………12分

得，即為的中點．……………………………14分

（3）設直線交雙曲線於兩點，交直線於點．則為中點的充要條件是．…………………16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題