問題詳情:
已知橢圓:,四點中恰有三個點在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,動直線:交橢圓於兩點,是橢圓上一點,直線的斜率為,且,是線段延長線上一點,且,以為圓的圓半徑為,是圓的兩條切線,切點分別為.求的最大值,並求取得最大值時直線的斜率.
【回答】
解:(Ⅰ)由對稱*可知,在橢圓上,不在橢圓上,則在橢圓上,所以,將點B代入橢圓方程,可得
所以橢圓方程為………4分
(Ⅱ)設,
聯立方程
得,
由題意知,
且,…………6分
所以 .
由題意可知圓的半徑為………8分
由題設知,
所以………9分
因此直線的方程為.
聯立方程
得,………11分
因此 .
由題意可知 ,………12分
而
,
令,
則,
因此 ,
若且唯若,即時等號成立,此時,………14分
所以 ,
因此,
所以 最大值為.………15分
綜上所述:的最大值為,取得最大值時直線的斜率為.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題