如圖，橢圓，點在短軸上，且.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設為座標原點，過點的動直線與橢圓交於兩點，是否存...

問題詳情：

如圖，橢圓，點在短軸上，且.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）設為座標原點，過點的動直線與橢圓交於兩點，是否存在常數，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請説明理由.

【回答】

（1）由已知可得，點的座標分別為，，

又點的座標為，且，即，

解得，所以橢圓的方程為.

因為，所以離心率.…………………………5分

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，的座標分別為

，聯立得，

其判別式，所以，，，………………………………7分

從而

，                   ……………9分

所以，當時，，

即為定值，…………11分

當直線斜率不存在時，直線即為直線，

此時，

故存在常數，使得為定值.…………………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題