設橢圓的離心率為，且橢圓過點.過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交於四點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若，探...

問題詳情：

設橢圓的離心率為，且橢圓過點.過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交於四點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若，探究：直線是否過定點？若是，請求出定點座標；若不是，請説明理由.

【回答】

試題解析：（Ⅰ）由題意知，，解得，

故橢圓的方程為.   

（Ⅱ）∵，，∴、分別為、的中點.

當兩直線的斜率都存在且不為0時，設直線的方程為，

則直線的方程為，，，，，

聯立，得，∴，

∴，，∴中點的座標為；

同理，中點的座標為，∴，

∴直線的方程為，

即，∴直線過定點；

當兩直線的斜率分別為0和不存在時，則直線的方程為，也過點；

綜上所述，直線過定點.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題