如圖，在平面直角座標系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交於A，B兩點，點C的座標是(8，4)，連接AC...

問題詳情：

 如圖，在平面直角座標系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交於A，B兩點，點C的座標是(8，4)，連接AC，BC.

(1)求過O，A，C三點的拋物線的解析式，並判斷△ABC的形狀；

(2)動點P從點O出發，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時，動點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．當t為何值時，PA＝QA?

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請説明理由．

第4題圖

【回答】

解：(1)∵直線y＝－2x＋10與x軸、y軸相交於A、B兩點，

∴A(5，0)，B(0，10)，

設過O、A、C三點的拋物線的解析式為y＝ax2＋bx(a≠0)，

把點A(5，0)和C(8，4)代入可得，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2－x；

∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，

∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，

∵AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是直角三角形．

(2)如解圖，連接AP，AQ，當P，Q運動t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，

第4題解圖

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP＝CQ，

∴2t＝10－t，

∴t＝，

∵t<5，

∴當運動時間為秒時，PA＝QA；

(3)存在．

由題可得，拋物線的對稱軸直線為x＝，

設點M的座標為( ，b)，

利用點的座標可求得

AB2＝102＋52＝125，

MB2＝()2＋(b－10)2，

MA2＝()2＋b2，

∵△MAB是等腰三角形，

∴可分以下三種情況討論：

①當AB＝MA時，即125＝()2＋b2，

解得b＝±，

即點M的座標為(，)或(，－)；

②當AB＝BM時，即125＝()2＋(b－10)2，

解得b＝10±，

即點M的座標為(，10＋)或(，10－)；

③當MB＝MA時，即()2＋(b－10)2＝()2＋b2，

解得b＝5，此時點A、M、B共線，故這樣的點M不存在．

綜上所述，存在點M，使以點A、B、M為頂點的三角形是等腰三角形，點M的座標為(，)或(，－)或(，10＋)或(，10－)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題