如圖，在平面直角座標系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交於點A，點B與點O關於點A對稱（1）填空：點B的座標...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交於點A，點B與點O關於點A對稱

（1）填空：點B的座標是　　　　　　；

（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交於點C，過點C作直線l平行於y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），並判斷點P是否在拋物線上，説明理由；

（3）在（2）的條件下，若點C關於直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由拋物線解析式可求得A點座標，再利用對稱可求得B點座標；

（2）可先用k表示出C點座標，過B作BD⊥l於點D，條件可知P點在x軸上方，設P點縱座標為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點座標，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；

（3）利用平行線和軸對稱的*質可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點座標．

【解答】解：

（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交於點A，

∴A（0，），

∵點B與點O關於點A對稱，

∴BA=OA=，

∴OB=，即B點座標為（0，），

故*為：（0，）；

（2）∵B點座標為（0，），

∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，

∴OC=﹣，

∵PB=PC，

∴點P只能在x軸上方，

如圖1，過B作BD⊥l於點D，設PB=PC=m，

則BD=OC=﹣，CD=OB=，

∴PD=PC﹣CD=m﹣，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，

∴PB+，

∴P點座標為（﹣， +），

當x=﹣時，代入拋物線解析式可得y=+，

∴點P在拋物線上；

（3）如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，

∴∠OBC=∠PCB，

又PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC，

∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′關於BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，

∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，

在Rt△OBC中，OB=，則BC=1

∴OC=，即P點的橫座標為，代入拋物線解析式可得y=（）2+=1，

∴P點座標為（，1）．

【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有軸對稱的*質、平行線的*質、勾股定理、等腰三角形的*質、二次函數的*質等．在（2）中構造直角三角形，利用勾股定理得到關於PC的長的方程是解題的關鍵，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合*較強，難度適中．

知識點：各地中考

題型：綜合題