如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸於A、D兩點，並經過B點，已知A點座標是（2，0），B點座標是（8...

問題詳情：

如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸於A、D兩點，並經過B點，已知A點座標是（2，0），B點座標是（8，6）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求函數圖象的頂點座標及D點的座標；

（3）二次函數的對稱軸上是否存在一點C，使得△CBD的周長最小？若C點存在，求出C點的座標；若C點不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】二次函數綜合題；待定係數法求一次函數解析式；二次函數的*質；待定係數法求二次函數解析式；線段的*質：兩點之間線段最短．

【分析】（1）只需運用待定係數法就可求出二次函數的解析式；

（2）只需運用*法就可求出拋物線的頂點座標，只需令y=0就可求出點D的座標；

（3）連接CA，由於BD是定值，使得△CBD的周長最小，只需CD+CB最小，根據拋物線是軸對稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據“兩點之間，線段最短”可得：當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，只需用待定係數法求出直線AB的解析式，就可得到點C的座標．

【解答】解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c，得

，

解得：，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣4x+6；

（2）由y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，得

二次函數圖象的頂點座標為（4，﹣2）．

令y=0，得x2﹣4x+6=0，

解得：x1=2，x2=6，

∴D點的座標為（6，0）；

（3）二次函數的對稱軸上存在一點C，使得△CBD的周長最小．

連接CA，如圖，

∵點C在二次函數的對稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周長=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據“兩點之間，線段最短”，可得

當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，

此時，由於BD是定值，因此△CBD的周長最小．

設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=x﹣2．

當x=4時，y=4﹣2=2，

∴當二次函數的對稱軸上點C的座標為（4，2）時，△CBD的周長最小．

【點評】本題主要考查了運用待定係數法求拋物線及直線的解析式、拋物線是軸對稱圖形、拋物線上點的座標特徵、兩點之間線段最短、解一元二次方程等知識，在解決問題的過程中，用到了*法、待定係數法等重要的數學方法，而運用“兩點之間線段最短”則是解決第3小題的關鍵．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題