已知點A(−2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為−.記M的軌跡為曲線C.（1...

問題詳情：

已知點A(−2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為−.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，並説明C是什麼曲線；

（2）過座標原點的直線交C於P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE並延長交C於點G.

（i）*：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

【回答】

（1）詳見解析（2）詳見解析

【分析】

（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為−，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；

（2）（i）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，求出P，Q兩點的座標，進而求出點的座標，求出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用根與係數關係求出的座標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以*出是直角三角形；

（ii）由（i）可知三點座標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導數求出面積的最大值.

【詳解】

（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以座標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；

（2）（i）設直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的座標為

直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯立，，消去得，（*），設點，顯然點的橫座標和是方程（*）的解

所以有，代入直線方程中，得

，所以點的座標為，

直線的斜率為; ,

因為所以，因此是直角三角形；

（ii）由（i）可知：，

的座標為，

，

,

,因為，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，因此當時，函數有最大值，最大值為.

【點睛】

本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關係，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數學運算能力，考查了利用導數求函數最大值問題.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題