問題詳情:
已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|+|=·(+)+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)動點Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l.問:是否存在定點P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數?若存在,求t的值.若不存在,説明理由.
【回答】
解:(1)依題意可得=(-2-x,1-y),
=(2-x,1-y),
|+|=,
·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,
由已知得=2y+2,
化簡得曲線C的方程:x2=4y.
(2)假設存在點P(0,t)(t<0)滿足條件,
則直線PA的方程是y=x+t,
直線PB的方程是y=x+t,
曲線C在點Q處的切線l的方程為y=x-,
它與y軸的交點為F(0,-),
由於-2<x0<2,
因此-1<<1.
①當-1<t<0時,-1<<-,存在x0∈(-2,2),使得=,即l與直線PA平行,故當-1<t<0時,不符合題意.
②當t≤-1時,≤-1<,≥1>,
所以l與直線PA,PB一定相交,
分別聯立方程組
解得D,E的橫座標分別是
xD=,xE=.
則xE-xD=,
又|FP|=--t,
有S△PDE=|FP|×|xE-xD|=×,
又S△QAB=×4×(1-)=.
於是=×
=×
對任意x0∈(-2,2),要使△QAB與△PDE的面積之比是常數,只需t滿足
解得t=-1,此時△QAB與△PDE的面積之比為2,
故存在t=-1,使△QAB與△PDE的面積之比是常數2.
知識點:平面向量
題型:解答題