橢圓mx2+ny2=1與直線x+y﹣1=0相交於A，B兩點，過AB中點M與座標原點的直線的斜率為，則的值為（　...

問題詳情：

橢圓mx2+ny2=1與直線x+y﹣1=0相交於A，B兩點，過AB中點M與座標原點的直線的斜率為，則的值為（　　）

A．  B． C．1    D．2

【回答】

A【考點】直線與圓錐曲線的關係．

【專題】計算題．

【分析】（法一）設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）由①，②及M，N在橢圓上，可得利用點差法進行求解

（法二）M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），聯立方程．，利用方程的根與係數的關係可求x1+x2，進而可求y1+y2=2﹣（x1+x2），由中點座標公式可得，，，由題意可知，從而可求

【解答】解：設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），

∴①，

kMN=②，

由AB 的中點為M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0

由M，N在橢圓上，可得，

兩式相減可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0③，

把①②代入③可得m（x1﹣x2）•2x0﹣n（x1﹣x2）•2y0=0③，

整理可得

故選A

（法二）設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）

聯立方程可得（m+n）x2﹣2nx++n﹣1=0

∴x1+x2=，y1+y2=2﹣（x1+x2）=

由中點座標公式可得， =， =

∵M與座標原點的直線的斜率為

∴=

故選A

【點評】題主要考查了直線與橢圓相交的位置關係，在涉及到與弦的斜率及中點有關時的常用方法有兩個：①聯立直線與橢圓，根據方程求解；②利用“點差法”，而第二種方法可以簡化運算，注意應用

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題