問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.若不改變矩形ABCD的形狀和大小,當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時,矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動.
(1)當∠OAD=30°時,求點C的座標;
(2)設AD的中點為M,連接OM、MC,當四邊形OMCD的面積為時,求OA的長;
(3)當點A移動到某一位置時,點C到點O的距離有最大值,請直接寫出最大值,並求此時cos∠OAD的值.
【回答】
(1)點C的座標為(2,3+2);(2)OA=3;(3)OC的最大值為8,cos∠OAD=.
【分析】
(1)作CE⊥y軸,先*∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=2,DE=,再由∠OAD=30°知OD=AD=3,從而得出點C座標;
(2)先求出S△DCM=6,結合S四邊形OMCD=知S△ODM=,S△OAD=9,設OA=x、OD=y,據此知x2+y2=36,xy=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=36求得x的值,從而得出*;
(3)由M為AD的中點,知OM=3,CM=5,由OC≤OM+CM=8知當O、M、C三點在同一直線時,OC有最大值8,連接OC,則此時OC與AD的交點為M,ON⊥AD,*△CMD∽△OMN得,據此求得MN=,ON=,AN=AM﹣MN=,再由OA=及cos∠OAD=可得*.
【詳解】
(1)如圖1,過點C作CE⊥y軸於點E,
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3,
∴點C的座標為(2,3+2);
(2)∵M為AD的中點,
∴DM=3,S△DCM=6,
又S四邊形OMCD=,
∴S△ODM=,
∴S△OAD=9,
設OA=x、OD=y,則x2+y2=36,xy=9,
∴x2+y2=2xy,即x=y,
將x=y代入x2+y2=36得x2=18,
解得x=3(負值捨去),
∴OA=3;
(3)OC的最大值為8,
如圖2,M為AD的中點,
∴OM=3,CM==5,
∴OC≤OM+CM=8,
當O、M、C三點在同一直線時,OC有最大值8,
連接OC,則此時OC與AD的交點為M,過點O作ON⊥AD,垂足為N,
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
∴,即,
解得MN=,ON=,
∴AN=AM﹣MN=,
在Rt△OAN中,OA=,
∴cos∠OAD=.
【點睛】
本題是四邊形的綜合問題,解題的關鍵是掌握矩形的*質、勾股定理、相似三角形的判定與*質等知識點.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題