問題詳情:
(1)如圖(1),在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點,P是BC延長線上一點,N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°,求*:AM=MN.下面給出一種*的思路,你可以按這一思路*,也可以選擇另外的方法*.
*:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.
正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴ ∠NMC=180°- ∠AMN- ∠AMB=180°- ∠B- ∠AMB= ∠MAB=∠MAE.
(下面請你完成餘下的*過程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖(2)),N是∠ACP的平分線上一點,則當∠AMN=60°時,結論AM=MN是否還成立?請説明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD……X”,請你作出猜想:當∠AMN=_________°時,結論AM=MN仍然成立.(直接寫出*,不需要*)
【回答】
(1)∵ AE=MC,
∴ BE=BM.
∴ ∠BEM=∠EMB=45°.
∴ ∠AEM=135°.
∵ CN平分∠DCP,∠PCN=45°,
∴ ∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∵ ∠AEM=∠MCN,AE=MC,∠EAM=∠CMN
∴ △AEM≌△MCN.
∴ AM=MN.
(2)仍然成立.
在邊AB上截取AE=MC,連接ME.
∵ △ABC是等邊三角形,
∴ AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∴ ∠ACP=120°.
∵ AE=MC,∴ BE=BM.
∴ ∠BEM=∠EMB=60°.
∵ CN平分∠ACP,∴ ∠PCN=60°.
∴ ∠AEM=120°.
∴ ∠AEM=∠MCN=120°.
∵ ∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM,
∴ △AEM≌△MCN.∴ AM=MN.
(3)
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題