如圖,四稜柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點,平面.(Ⅰ)*:平面平面;(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的...

問題詳情：

如圖,四稜柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點, 平面.

(Ⅰ)*:平面平面;

(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的餘弦值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的餘弦值.

【回答】

1.解(Ⅰ)依題意,

所以是正三角形,  

又  

所以,  

因為平面,平面,所以  

因為,所以平面  

因為平面,所以平面平面   

(Ⅱ)取的中點,連接、  ,連接,則  

所以是異面直線與所成的角  

因為,,

所以 ,,  

所以  

(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以為原點,過且垂直於的直線為軸,所在直線為軸、所在直線為建立右手系空間直角座標系         

設(),

則  

(Ⅰ)設平面的一個法向量為,

則                                      

,取,則,從而,  

同理可得平面的一個法向量為,  

直接計算知,所以平面平面  

(Ⅱ)由即        

解得                                                         

,  

所以異面直線與所成角的餘弦值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一個法向量為

又,設平面的法向量則得  

設二面角的平面角為,且為鋭角

則

所以二面角的餘弦值為  

知識點：平面向量

題型：解答題