問題詳情:
如圖1,在鋭角△ABC中,D、E分別是AB、BC的中點,點F在AC上,且滿足∠AFE=∠A,DM∥EF交AC於點M.
(1)*:DM=DA;
(2)點G在BE上,且∠BDG=∠C,如圖2,求*:△DEG∽△ECF;
(3)在圖2中,取CE上一點H,使得∠CFH=∠B,若BG=5,求EH的長.
【回答】
【考點】S9:相似三角形的判定與*質;KD:全等三角形的判定與*質;KX:三角形中位線定理.
【分析】(1)*∠A=∠DMA,用等角對等邊即可*結論;
(2)由D、E分別是AB、BC的中點,可知DE∥AC,於是∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,又∠A=∠AFE,∠AFE=∠C+∠FEC,根據等式*質得∠FEC=∠GDE,根據有兩對對應角相等的兩三角形相似可*;
(3)通過*△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF,可得BG•BE=EH•EC,又BE=EC,所以EH=BG=5.
【解答】(1)*:如圖1所示,
∵DM∥EF,
∴∠AMD=∠AFE,
∵∠AFE=∠A,
∴∠AMD=∠A,
∴DM=DA;
(2)*:如圖2所示,
∵D、E分別是AB、BC的中點,
∴DE∥AC,
∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,
∵∠AFE=∠A,
∴∠BDE=∠AFE,
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,
∵∠BDG=∠C,
∴∠GDE=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF;
(3)解:如圖3所示,
∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,
∴△BDG∽△BED,
∴=,
∴BD2=BG•BE,
∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH,
又∵∠FEH=∠CEF,
∴△EFH∽△ECF,
∴=,
∴EF2=EH•EC,
∵DE∥AC,DM∥EF,
∴四邊形DEFM是平行四邊形,
∴EF=DM=DA=BD,
∴BG•BE=EH•EC,
∵BE=EC,
∴EH=BG=5.
知識點:相似三角形
題型:解答題