.在三稜台中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.（I）求*：；（II）求直線與平面所成角的正弦值.

問題詳情：

.在三稜台中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.

（I）求*：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值.

【回答】

【詳解】（I）*：設，與交於點，取稜的中點，連結.

因，，

故.

又是稜的中點，

故.

同理

又平面，且，

因此平面，

又平面，

所以； 

（II）方法一：

作，垂足為.

因平面，

故平面，

從而為直線與平面所成的角.

不妨設,則，，

所以. 

方法二：如圖，以為原點建立空間直角座標系，

由（I），為二面角的平面角，則，

設，，則點 , , ，.

設為平面，即平面的一個法向量，

由 ，得，

令，則，即.

設是直線與平面所成的角，

則.

【點睛】本題第一問主要考查由線面垂直推面面垂直，需要用到線面垂直的判定定理；第二問求線面角的正弦值，通常有兩種做法：立體幾何法（即在幾何體中直接作出直線與平面所成的角，求解即可）和空間向量的方法（即建立適當座標系求出直線的方向向量和平面的法向量，由向量的夾角確定線面角即可）；屬於常考題型.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題