問題詳情:
如圖1,二次函數的圖象與一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象交於A,B兩點,點A的座標為(0,1),點B在第一象限內,點C是二次函數圖象的頂點,點M是一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點,過點B作x軸的垂線,垂足為N,且S△AMO:S四邊形AONB=1:48.
(1)求直線AB和直線BC的解析式;
(2)點P是線段AB上一點,點D是線段BC上一點,PD//x軸,*線PD與拋物線交於點G,過點P作PE⊥x軸於點E,PF⊥BC於點F,當PF與PE的乘積最大時,在線段AB上找一點H(不與點A,點B重合),使GH+BH的值最小,求點H的座標和GH+BH的最小值;
(3)如圖2,直線AB上有一點K(3,4),將二次函數沿直線BC平移,平移的距離是t(t≥0),平移後拋物線使點A,點C的對應點分別為點A’,點C’;當△A’C’K是直角三角形時,求t的值。
【回答】
解:(1)C(2,-1).
由S△AMO:S四邊形AONB=1:48,可得由S△AMO:S△BMN=1:49,
所有BN=7,帶入二次函數解析式可得B(6,7)。
所以yAB=x+1,yBC=2x-5.
(2)設點P(x0,x0+1),則D(,x0+1),則PE=x0+1,PD=3-0.5x0,
由於△PDF相似△BGN,所以PF:PD的值固定,於是最大時,也最大,
=(x0+1)(3-0.5x0)=,所以當x0=2.5時,最大,即最大。
此時G(5,3.5)
可得△MNB是等腰直角三角形,過B作x軸的平行線,則BH=B1H,
GH+BH的最小值轉化為求GH+HB1的最小值,
所以當GH和HB1在一條直線上時,GH+HB1的值最小,此時H(5,6),最小值為7-3.5=3.5
(3)令直線BC與x軸交於點I,則I(2.5,0)於是IN=3.5,IN:BN=1:2,
所以沿直線BC平移時,橫座標平移m時,縱座標則平移2m,平移後A’(m,1+2m),C’(2+m,-1+2m),
則A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26,
當∠A’KC’=90°時,A’K2+KC’2=A’C’2,解得m=,此時t=;
‚當∠KC’A’=90°時,KC’2+A’C’2=A’K2,解得m=4,此時t=;
ƒ當∠KA’C’=90°時,A’C’2+A’K2=KC’2,解得m=0,此時t=0
知識點:各地中考
題型:綜合題