問題詳情:
已知二次函數圖象的頂點在原點,對稱軸為軸.一次函數的圖象與二次函數的圖象交於兩點(在的左側),且點座標為.平行於軸的直線過點.
(1)求一次函數與二次函數的解析式;
(2)判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關係,並給出*;
(3)把二次函數的圖象向右平移 2 個單位,再向下平移 t 個單位(t>0),二次函數的圖象與x 軸交於 M,N 兩點,一次函數圖象交y 軸於 F 點.當 t 為何值時,過 F,M,N 三點的圓的面積最小?最小面積是多少?
【回答】
(1)一次函數的解析式為;二次函數解析式為.
(2)相切,*見解析
(3)當時,過三點的圓面積最小,最小面積為.
【解析】
把代入得
一次函數的解析式為
二次函數圖象的頂點在原點,對稱軸為軸,
二次函數的解析式為,將代入解析式得
二次函數的解析式為
由解得或,,取的中點,
過作直線的垂線,垂足為,則
,而直徑
,即圓心到直線的距離等於半徑,
以為直徑的圓與直線相切.
平移後二次函數的解析式為,
令得
過三點的國的圓心一定在平移後拋物線的對稱軸.上,要使圓面積最小,圓半徑應等於點到直線2的距離,點座標為.
此時,半徑為,面積為
設圓心為的中點為,連接,則,
在三角形中,
,而
當時,過三點的圓面積最小,最小面積為.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題