如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交於B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經...

問題詳情：

如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交於B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點.

(1)求A、B兩點的座標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC於點H，作MD∥y軸交BC於點D，求△DMH周長的最大值.

【回答】

】解：

(1)∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交於B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

(2)∵拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；

(3)∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴當DM有最大值時，其周長有最大值，

∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，

∴可設M（t，﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，DM有最大值，最大值為，

此時DM=×=，

即△DMH周長的最大值為．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題