如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至C...

問題詳情：

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至CE，連接AE．

（1）連接ED，若CD=，AE=4，求AB的長；

（2）如圖2，若點F為AD的中點，連接EB、CF，求*：CF⊥EB．

【回答】

【解答】解：（1）如圖1，由旋轉可得，EC=DC=，∠ECD=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，

∴∠EAD=90°，

∵CD2+EC2=DE2=AE2+AD2，

∴AD==，

∴AB=AD+DB=+4；

（2）如圖2，過C作CG⊥AB於G，則AG=AB，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴CG=AB，即，

∵點F為AD的中點，

∴FA=AD，

∴FG=AG﹣AF=AB﹣AD=（AB﹣AD）=BD，

由（1）可得，BD=AE，

∴FG=AE，即，

∴，

又∵∠CGF=∠BAE=90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG=∠ABE，

∵∠FCG+∠CFG=90°，

∴∠ABE+∠∠CFG=90°，

∴CF⊥BE．

知識點：勾股定理

題型：解答題