問題詳情:
如圖,已知矩形中,,點是的中點,將沿折起到的位置,使二面角是直二面角.
(1)*:平面;
(2)求二面角的餘弦值.
【回答】
【詳解】(1)∵,點是的中點,
∴,都是等腰直角三角形,
∴,即..
又∵二面角是直二面角,即平面平面,
平面平面,平面,
∴平面,
又∵平面,
∴,
又∵,平面,,
∴平面.
(2)如圖,取的中點,連接,
∵,∴,
∵平面平面,平面平面,
平面,
∴平面,
過點作,交於,
∵,∴,
以,,所在直線為軸、軸、軸,建立如圖所示座標系,
則,,,,
∴,,,
設為平面的一個法向量,則
,即,取,則,∴,
又平面,∴為平面的一個法向量,
所以,即二面角的餘弦值為.
【點睛】本題的核心在考查空間向量的應用,需要注意以下問題:
(1)求解本題要注意兩點:一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進行向量運算,要認真細心,準確計算.
(2)設分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與互補或相等.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是鋭角還是鈍角.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題