設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，l與x軸交於點R，A為C上一點，已知以F為圓心，...

問題詳情：

設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，l與x軸交於點R，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l於B，D兩點．

(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面積為8，求p的值及圓F的方程；

(2)在(1)的條件下，若A，B，F三點在同一直線上，FD與拋物線C交於點E，求△EDA的面積．

【回答】

解：(1)因為∠BFD＝120°，|BF|＝|FD|，

所以∠FBD＝∠FDB＝30°，

在Rt△BRF中，因為|FR|＝p，

所以|BF|＝2p，|BR|＝p.

在Rt△DRF中，同理有|DF|＝2p，|DR|＝p，

所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2p，

圓F的半徑|FA|＝|FB|＝2p.

由拋物線定義可知，A到l的距離d＝|FA|＝2p，

因為△ABD的面積為8，

所以|BD|·d＝8，

即×2p×2p＝8，解得p＝－2(捨去)或p＝2，所以F(1,0)，圓F的方程為(x－1)2＋y2＝16.

(2)因為A，B，F三點在同一直線上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°，

由拋物線定義知，|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，

直線DF的斜率k＝tan 60°＝，其方程為y＝(x－1)，

解方程組得

d′＝|DR|－|yE|＝2－＝，

所以S△EDA＝|DA|·d′＝×4×＝.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題