設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數a，b∈R....

問題詳情：

設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數a，b∈R.

(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)設g(x)＝f′(x)e－x，求函數g(x)的極值．

【回答】

解：(1)由於f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

則解得

所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3.

於是有f(1)＝－.又f′(1)＝－3，

故曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－＝－3(x－1)，

即6x＋2y－1＝0.

(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，

則g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，

令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，

當x≤0或x≥3時，g′(x)≤0，

當0≤x≤3時，g′(x)≥0，於是函數g(x)在(－∞，0]上單調遞減，在[0,3]上單調遞增，在[3，＋∞)上單調遞減．

所以函數g(x)在x＝0處取得極小值g(0)＝－3，在x＝3處取得極大值g(3)＝15e－3.

知識點：導數及其應用

題型：解答題