已知函數f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a為常數)．(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處...

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問題詳情：

已知函數f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a為常數)．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；

(2)當a＞0時，討論函數y＝f(x)在區間(0,1)上的單調*，並寫出相應的單調區間．

【回答】

解　(1)當a＝－1時，f(x)＝x2＋x－ln x，則f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(6分)

(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，

由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分)

①當0＜a＜時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函數f(x)的單調增區間是(0，a)和，單調減區間是，(10分)

②當a＝時，f′(x)＝≥0，且僅當x＝時，f′(x)＝0，

所以函數f(x)在區間(0,1)上是單調增函數．(11分)

③當＜a＜1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函數f(x)的單調增區間是和(a,1)，單調減區間是，(13分)

④當a≥1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.(16分)

知識點：基本初等函數I

題型：解答題

Tags：FX alnxa x2 2ax

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