如圖1­3，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五稜錐P­ABCDE中，F為稜PE的中...

問題詳情：

 如圖1­3，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五稜錐P ­ ABCDE中，F為稜PE的中點，平面ABF與稜PD，PC分別交於點G，H.

(1)求*：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，並求線段PH的長．

圖1­3

【回答】

解：(1)*：在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE.

又因為AB⊄平面PDE，

所以AB∥平面PDE.

因為AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG.

(2)因為PA⊥底面ABCDE，

所以PA⊥AB，PA⊥AE.

建立空間直角座標系Axyz，如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0)．

設平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

令z＝1，則y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．

設直線BC與平面ABF所成角為α，則

sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.

設點H的座標為(u，v，w)．

因為點H在稜PC上，所以可設＝λ(0<λ<1)．

即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因為n是平面ABF的一個法向量，

所以n·＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，

解得λ＝，所以點H的座標為.

所以PH＝＝2.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題