問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,點O為座標原點,直線y=﹣x+b與座標軸交於C,D兩點,直線AB與座標軸交於A,B兩點,線段OA,OC的長是方程x2﹣3x+2=0的兩個根(OA>OC).
(1)求點A,C的座標;(2)直線AB與直線CD交於點E,若點E是線段AB的中點,反比例函數y=(k≠0)的圖象的一個分支經過點E,求k的值;
(3)在(2)的條件下,點M在直線CD上,座標平面內是否存在點N,使以點B,E,M,N為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出滿足條件的點N的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)
x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0,
∴x1=1,x2=2,…………………………2分
∵OA>OC,
∴OA=2,OC=1,
∴A(﹣2,0),C(1,0).…………………………2分
(2)將C(1,0)代入y=﹣x+b中,
得:0=﹣1+b,解得:b=1,
∴直線CD的解析式為y=﹣x+1.…………………………1分
∵點E為線段AB的中點,A(﹣2,0),B的橫座標為0,
∴點E的橫座標為﹣1.
∵點E為直線CD上一點,
∴E(﹣1,2).…………………………1分
將點E(﹣1,2)代入y=(k≠0)中,
得:2=,解得:k=﹣2.…………………………1分
3.假設存在,…………………………1分
(3)設點M的座標為(m,﹣m+1),
以點B,E,M,N為頂點的四邊形是菱形分兩種情況(如圖所示):
①以線段BE為邊時,∵E(﹣1,2),A(﹣2,0),E為線段AB的中點,
∴B(0,4),
∴BE=AB==.
∵四邊形BEMN為菱形,
∴EM==BE=,
解得:m1=,m2=,
∴M(,2+)或(,2﹣),
∵B(0,4),E(﹣1,2),
∴N(﹣,4+)或(,4﹣);
②以線段BE為對角線時,MB=ME,
∴=,
解得:m3=﹣,
∴M(﹣,),
∵B(0,4),E(﹣1,2),
∴N(0﹣1+,4+2﹣),即(,).
綜上可得:座標平面內存在點N,使以點B,E,M,N為頂點的四邊形是菱形,點N的座標為(﹣,4+)、(,4﹣)或(,).
知識點:課題學習 選擇方案
題型:解答題