如圖，以△ABC的邊AB上一點O為圓心的圓經過B、C兩點，且與邊AB相交於點E，D是弧BE的中點，CD交AB於...

問題詳情：

如圖，以△ABC的邊AB上一點O為圓心的圓經過B、C兩點，且與邊AB相交於點E，D是弧BE的中點，CD交AB於F，AC=AF．

（1）求*：AC是⊙O的切線；

（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半徑．

【回答】

【考點】切線的判定．

【專題】*題．

【分析】（1）連結OD、OC，如圖，根據垂徑定理的推論，由D是弧BE的中點得到OD⊥BE，則∠D+∠3=90°，而∠3=∠2，所以∠D+∠2=90°，再利用AF=AC，OD=OC，得到∠1=∠2，∠D=∠4，易得∠1+∠4=90°，於是根據切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，則OF=OE﹣EF=r﹣5，在Rt△ODF中，根據勾股定理得r2+（r﹣5）2=（）2，然後解方程即可得到圓的半徑．

【解答】（1）*：連結OD、OC，如圖，

∵D是弧BE的中點，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠3=90°，

∵∠3=∠2，

∴∠D+∠2=90°，

∵AF=AC，OD=OC，

∴∠1=∠2，∠D=∠4，

∴∠1+∠4=90°，

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，

則OF=OE﹣EF=r﹣5，

在Rt△ODF中，

∵OD2+OF2=DF2，

∴r2+（r﹣5）2=（）2，

整理得r2﹣5r﹣6=0，

解得r1=6，r2=﹣1，

∴，⊙O的半徑為6．

【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，*該線段的長等於半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，*該半徑垂直於這條直線．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題