問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C於A,B兩點,交y軸於點M,點N是M關於O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切於點E,F,求∠EDF的最小值.
【回答】
解:(1)由橢圓的離心率為,得a2=2(a2-b2).
又當y=1時,x2=a2-,得a2-=2,
所以a2=4,b2=2,
因此橢圓方程為+=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).
因為|NF|=|m|,
令y=t+,所以y′=1-.
當t≥3時,y′>0,
從而y=t+在[3,+∞)上單調遞增,
因此t+≥,
等號若且唯若t=3時成立,此時k=0,
所以≤1+3=4,
由(*)得-<m<且m≠0.
故≥,
設∠EDF=2θ,則sin θ=≥,
所以θ的最小值為.
從而∠EDF的最小值為,此時直線l的斜率是0.
綜上所述:當k=0,m∈(-,0)∪(0,)時,∠EDF取到最小值.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題