如圖,在平面直角座標系xOy中,橢圓W:+=1(a>b>0)的離心率為,過橢圓右焦點且垂直於x軸的...

問題詳情：

如圖,在平面直角座標系xOy中,橢圓W:+=1(a>b>0)的離心率為,過橢圓右焦點且垂直於x軸的直線交橢圓所得的弦的弦長為,過點A的直線與橢圓W交於另一點C.

(1)求橢圓W的標準方程.

(2)當AC的斜率為時,求線段AC的長.

(3)設D是AC的中點,且以AB為直徑的圓恰過點D,求直線AC的斜率.

【回答】

【解析】(1)由=,設a=3k(k>0),則c=k,b2=3k2,

所以橢圓W的方程為+=1,

把x=k代入橢圓方程,解得y=±k,於是2k=,即k=,

所以橢圓W的標準方程為+y2=1.

(2)由已知A(0,-1),

直線AC的方程為y=x-1.

由得2x2-3x=0,

解得x=或x=0(舍),

所以點C的座標為,

所以|AC|==.

(3)依題意,設直線AC的方程為y=k1x-1,k1≠0.

由得(3+1)x2-6k1x=0,

解得x=或x=0(舍),所以點C的橫座標為,

設點D的座標為(x0,y0),則x0=,

y0=k1x0-1=,

因為以AB為直徑的圓恰過點D,

所以|OD|=1,

即+=1.

整理得=,所以k1=±.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題