在平面直角座標系中，已知橢圓C： =1，設R（x0，y0）是橢圓C上任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（...

問題詳情：

在平面直角座標系中，已知橢圓C： =1，設R（x0，y0）是橢圓C上任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，切點分別為P，Q．

（1）若直線OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圓R的方程；

（2）若直線OP，OQ的斜率都存在，並記為k1，k2，求*：2k1k2+1=0．

【回答】

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．

【分析】（1）由直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，可得OR=4，再由R在橢圓上，滿足橢圓方程，求得點R的座標，即可得到圓R的方程；

（2）運用直線和圓相切的條件：d=r，結合二次方程的韋達定理和點R滿足橢圓方程，化簡整理，即可得*．

【解答】解：（1）由題圓R的半徑為，因為直線OP，OQ互相垂直，且與圓R相切，

所以，即，①

又R（x0，y0）在橢圓C上，所以，②

由①②及R在第一象限，解得，

所以圓R的方程為：；

（2）*：因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x均與圓R相切，

所以，化簡得，

同理有，

所以k1，k2是方程的兩個不相等的實數根，

所以．又因為R（x0，y0）在橢圓C上，所以，

即，所以，

即2k1k2+1=0．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題