設橢圓C：的離心率e＝，左頂點M到直線＝1的距離d＝，O為座標原點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓...

問題詳情：

設橢圓C：的離心率e＝，左頂點M到直線＝1的距離d＝，O為座標原點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線l與橢圓C相交於A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過座標原點，*：點O到直線AB的距離為定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，

解得a＝2，b＝1，c＝，

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）*：設A（x1，y1），B（x2，y2），

①當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱*知x1＝x2，y1＝﹣y2，

∵以AB為直線的圓經過座標原點，∴＝0，

∴x1x2+y1y2＝0，∴，

又點A在橢圓C上，

解得|x1|＝|y1|＝．

此時點O到直線AB的距離．

（2）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝kx+m，

聯立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

∵以AB為直徑的圓過座標原點O，∴OA⊥OB，

∴＝x1x2+y1y2＝0，

∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，

∴（1+k2）•，

整理，得5m2＝4（k2+1），

∴點O到直線AB的距離＝，

綜上所述，點O到直線AB的距離為定值．

（3）設直線OA的斜率為k0，

當k0≠0時，OA的方程為y＝k0x，OB的方程為y＝﹣，

聯立，得，同理，得，

∴△AOB的面積S＝＝2，

令1+＝t，t＞1，

則S＝2＝2，                             

令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）

∴4＜g（t），∴，

當k0＝0時，解得S＝1，

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題