問題詳情:
如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交於A,B兩點,與y軸交於C點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的座標;
(2)判斷△ABC的形狀,*你的結論;
(3)點M(m,0)是x軸上的一個動點,當MC+MD的值最小時,求m的值.
【回答】
【解答】解:(1)∵點A(﹣1,0)在拋物線y=x2+bx﹣2上,
∴×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,解得b=
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2.
y=x2﹣x﹣2
=( x2﹣3x﹣4 )
=(x﹣)2﹣,
∴頂點D的座標為 (,﹣).
(2)當x=0時y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.
當y=0時, x2﹣x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0)
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(3)作出點C關於x軸的對稱點C′,則C′(0,2),OC′=2,
連接C′D交x軸於點M,根據軸對稱*及兩點之間線段最短可知,MC+MD的值最小.
解法一:設拋物線的對稱軸交x軸於點E.
∵ED∥y軸,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴,
∴m=.
解法二:設直線C′D的解析式為y=kx+n,
則,
解得:.
∴.
∴當y=0時,,.
∴.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題