已知，如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交於點B、C，與y軸交於點A，且AO＝CO，BC＝4．（1）求拋...

問題詳情：

已知，如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交於點B、C，與y軸交於點A，且AO＝CO，BC＝4．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，點P是拋物線第一象限上一點，連接PB交y軸於點Q，設點P的橫座標為t，線段OQ長為d，求d與t之間的函數關係式；

（3）在（2）的條件下，過點Q作直線l⊥y軸，在l上取一點M（點M在第二象限），連接AM，使AM＝PQ，連接CP並延長CP交y軸於點K，過點P作PN⊥l於點N，連接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ＝45°時，求t值．

【回答】

【解答】解：（1）如圖1，當x＝0時，y＝3，

∴A（0，3），

∴OA＝OC＝3，

∵BC＝4，

∴OB＝1，

∴B（﹣1，0），C（3，0），

把B（﹣1，0），C（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx+3中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖2，設P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），

過P作PG⊥x軸於G，

∵OQ∥PG，

∴△BOQ∽△BGP，

∴，

∴，

∴d＝＝﹣t+3（0＜t＜3）；

（3）如圖3，連接AN，延長PN交x軸於G，

由（2）知：OQ＝3﹣t，OA＝3，

∴AQ＝OA﹣OQ＝3﹣（3﹣t）＝t，

∴QN＝OG＝AQ＝t，

∴△AQN是等腰直角三角形，

∴∠QAN＝45°，AN＝t，

∵PG∥OK，

∴，

∴，

OK＝3t+3，

AK＝3t，

∵∠QAN＝∠NKQ+∠ANK，

∴∠NKQ+∠ANK＝45°，

∵∠MCN+∠NKQ＝45°，

∴∠ANK＝∠MCN，

∵NG＝CG＝3﹣t，

∴△NGC是等腰直角三角形，

∴NC＝（3﹣t），∠GNC＝45°，

∴∠CNH＝∠NCM+∠NMC＝45°，

∴∠NKQ＝∠NMC，

∴△AKN∽△NMC，

∴，

∵AQ＝QN＝t，AM＝PQ，

∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），

∴MQ＝PN＝﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，

∴，

t2﹣7t+9＝0，

t1＝＞3，t2＝，

∵0＜t＜3，

∴t1＞3，不符合題意，捨去，

∴t＝．

知識點：相似三角形

題型：綜合題