已知拋物線y＝﹣x2+x+9與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．（1）如圖1，點P為線段...

問題詳情：

已知拋物線y＝﹣x2+x+9與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C．

（1）如圖1，點P為線段BC上方拋物線上的任意一點，當四邊形PCAB面積最大時，連接OP並延長至點Q，使PQ＝OP，在對稱軸上有一動點E，將△ACE沿邊CE翻折得到△A′CE，取BA′的中點N，求BQ+QN的最大值；

（2）如圖2，將△AOC繞點O順時針旋轉至△A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為A1，C1，且點A1落在線段AC上，再將△A1OC1沿y軸平移得△A2O1C2，其中直線O1C2與x軸交於點K，點T是拋物線對稱軸上的動點，連接KT，O1T，△O1KT能否成為以O1K為直角邊的等腰直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點T的座標；若不能，請説明理由．

【回答】

解：（1）

針對於拋物線y＝﹣x2+x+9，

令x＝0，則y＝9，

∴C（0，9），

令y＝0，

∴0＝﹣x2+x+9，

∴x＝﹣3，或x＝9，

∴A（﹣3，0），B（9，0），

∵S四邊形ABPC＝S△ABC+S△BPC

＝×（9+3）×9+S△BPC＝45+S△BPC，

要四邊形ABPC的面積最大，只要△BPC的面積最大，

∵B（9，0），C（0，9）

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+9，如圖1，

過點P作PD'∥y軸交BC於D'，

設點P（m，﹣m2+m+9）（0＜m＜9），

∴D（m，﹣m+9），

∴PD'＝﹣m2+m+9﹣（﹣m+9）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

∴S△BPC＝[﹣（m﹣）2+]×9＝﹣（m﹣）2+

∴當m＝時，△BPC的面積最大，即：四邊形ABPC的面積最大，

∴P（，），

∵點Q在OP的延長線上，且PQ＝OP，

∴Q（9，），

∵B（9，0）

∴BQ⊥x軸，BQ＝，

如圖2，

延長BQ至F，使QF＝BQ，連接A'F，

∴BF＝45，

∴F（9，45），

∵點N是A'B的中點，

∴QN是△A'BF的中位線，

∴A'F＝2QN，

∵BQ+QN＝9+QN，最大，

∴QN最大，即：A'F最大，

由摺疊知，點A'在以點C為圓心，AC＝6為半徑的圓上，

∴FA'過點C時，A'F最大，

∵C（0，9），F（9，45），

∴直線CF的解析式為y＝x+9，

令y＝0，

∴x＝﹣＞3，

∴點A'在x軸下方，如圖3，

過點C作CD⊥BF於D，

在Rt△CDF中，CF＝＝9，

∴A'F最大＝CF+A'C＝9+6，

∴QN最大＝，

∴（QN+QB）最大＝+＝；

（2）在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝9，

∴tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝60°，

由旋轉知，OA＝OA1，

∴△AOA1是等邊三角形，

∠A1OA＝60°＝∠OA1C1，

∴A1C1∥x軸，

∴∠OC1A1＝30°，C1（9，3）

∴直線OC1的解析式為y＝x，

∵OC1∥O1C2，

∴設直線O1C2的解析式為y＝x+b，

∴O1（0，b），K（﹣b，0），

∴OO1＝|b|，OK＝|b|，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+9，

∴此拋物線的對稱軸為x＝3，

①當∠O1KT＝90°時，b＜0，OO1＝﹣b，OK＝﹣b，

如圖4，易*，△O1OK≌△KHT（AAS），

∴OO1＝KT，OK＝HT，

∴|b|+|b|＝3，

∴b＝．

∴HT＝OK＝，

∴T（3，）；

②當∠KO1T＝90°時，當b＞0時，如圖5，OO1＝b，OK＝b，

易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），

∴OO1＝HT，OK＝O1H，

∴b＝3，

∴OH＝O1H﹣OO1＝OK﹣OO1＝9﹣3，

∴T（3，9﹣3）；

當∠KO1T＝90°時，當b＜0時，如圖6，

OO1＝﹣b，OK＝﹣b，

易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），

∴OO1＝HT，OK＝O1H，

∴b＝﹣3，

∴OH＝O1H+OO1＝OK+OO1＝9+3，

∴T（3，﹣9﹣3）；

即：（3，）或（3，9﹣3）或（3，﹣9﹣3）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題