已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-錯誤！未找到引用源。與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值及...

問題詳情：

已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-錯誤！未找到引用源。與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值及函數f(x)的單調區間;

(2)若對於x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恆成立,求c的取值範圍.

【回答】

∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.

又∵f(x)在x=-錯誤！未找到引用源。與x=1處都取得極值,

∴f'錯誤！未找到引用源。a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,

兩式聯立解得a=-錯誤！未找到引用源。,b=-2,

∴f(x)=x3-錯誤！未找到引用源。x2-2x+c,

f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),

令f'(x)=0,得x1=-錯誤！未找到引用源。,x2=1,

當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:

∴函數f(x)的遞增區間為錯誤！未找到引用源。與(1,+∞);

遞減區間為錯誤！未找到引用源。.

(2)f(x)=x3-錯誤！未找到引用源。x2-2x+c,x∈[-1,2],

當x=-錯誤！未找到引用源。時,f錯誤！未找到引用源。+c為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,

要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恆成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.

∴c的取值範圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題