設函數f(x)＝2ax－＋lnx，若f(x)在x＝1，x＝處取得極值，(1)求a，b的值；(2)在上存在x0使...

問題詳情：

設函數f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝處取得極值，

(1)求a，b的值；

(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．

【回答】

解：(1)因為f(x)＝2ax－＋ln x，

所以f′(x)＝2a＋＋.

因為f(x)在x＝1，x＝處取得極值，

所以f′(1)＝0，f′＝0.

即

所以a，b的值分別為－，－.

(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由(1)知f(x)＝－x＋＋ln x.

所以當x∈時，f′(x)＜0，故f(x)在上單調遞減；

當x∈時，f′(x)＞0，故f(x)在上單調遞增；

當x∈(1,2)時，f′(x)＜0，

故f(x)在(1,2)上單調遞減．

所以f是f(x)在上的極小值，

而f＝＋ln＝－ln 2，

f(2)＝－＋ln 2，且f－f(2)＝－ln 4＝ln－ln 4，

又e3－16＞0，

所以ln－ln 4＞0，

所以在上f(x)min＝f(2)，

所以c≥f(x)min＝－＋ln 2.

所以c的取值範圍為，

所以c的最小值為－＋ln 2.

知識點：導數及其應用

題型：解答題