如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點，過A作AF⊥BE，交CD邊於F，M是AD邊上一點，且有BM＝DM＋C...

問題詳情：

如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點，過A作AF⊥BE，交CD邊於F，M是AD邊上一點，且有BM＝DM＋CD．

（1）求*：點F是CD邊的中點；

（2）求*：∠MBC＝2∠ABE．

【回答】

（1）*見試題解析；（2）*見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根據AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可*出點F是CD邊的中點；

（2）延長AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，*△FDG≌△FCB，求出B，F，G共線，再*△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根據三角形的外角*質即可求出結論．

試題解析：（1）∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，

∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，

∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，

∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，

∵E為AD邊上的中點，∴點F是CD邊的中點；

（2）延長AD到G．使MG=MB．連接FG，FB，

∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，

∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共線，

∵E為AD邊上的中點，點F是CD邊的中點，AD=CD，∴AE=CF，

∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，

∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，

∴∠MBC=2∠ABE．

考點：1．正方形的*質；2．三角形的外角*質；3．全等三角形的判定與*質．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題