如圖,AD是△ABC的角平分線,延長AD交△ABC的外接圓O於點E,過C、D、E三點的圓O1交AC的延長線於點...

問題詳情：

如圖,AD是△ABC的角平分線, 延長AD交△ABC的外接圓O於點E,過C、D、E三點的圓O1交AC的延長線於點F，連結EF、DF．

(1)求*：△AEF∽△FED；

(2) 若AD=6，DE=3, 求EF的長；

(3) 若DF∥BE, 試判斷△ABE的形狀，並説明理由．

【回答】

解（1）*：連結兩圓的相交弦CE

在圓O1中，∠EFD=∠DCE，

在圓O中，∠BAE=∠DCE，

∴∠EFD=∠BAE，

又因為AE是∠BAC角平分線，得∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠EFD，

∵∠AEF=∠FED，

∴△AEF∽△FED．

（2）∵△AEF∽△FED，

∴ ，             

∴EF2=AE・DE=(AD+DE) ・DE=27，

∴．

（3）*：根據同弧上的圓周角相等，

得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，

∴∠ABE=∠AEC+∠CAE，

∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=1800=180°，

∴∠ABE+∠ACE=1800，

又∠FCE+∠ACE=1800，∴∠FCE=∠ABE ．

∵DF//BE, ∠FDE=∠AEB，，

又∵∠FCE=∠EDF，∴∠AEB =∠ABE ，

∴△ABE為等腰三角形．

知識點：相似三角形

題型：綜合題