問題詳情:
如圖,BD為四邊形ABCD的對角線,BC=AD,∠A=∠CBD,∠ABD=120°,AB=3,CD=,則BC的長為_____________.
【回答】
7
【解析】如圖,過點D作DE//BA,並且使DE=BD,連接BE,AE,過點B作BF⊥DE於點F,過點A作AG⊥DE於點G,則四邊形ABFG是矩形,從而有FG=AB=3,AG=BF,通過*△ADE≌△CBD,可得AE=CD=,根據已知易得△BDE是等邊三角形,根據等邊三角形的*質可得DF=BD,BF=BD,在Rt△AEG中,利用勾股定理可求得BD=5,從而得AG=,DG=,在Rt△ADG中,根據勾股定理求得AD長即可得*.
【詳解】如圖,過點D作DE//BA,並且使DE=BD,連接BE,AE,過點B作BF⊥DE於點F,過點A作AG⊥DE於點G,則四邊形ABFG是矩形,
∴FG=AB=3,AG=BF,
∵AB//DE,∴∠ADE=∠BAD,
∵∠BAD=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBD,
又∵DE=BD,AD=BC,
∴△ADE≌△CBD,
∴AE=CD=,
∵∠ABD=120°,DE//AB,
∴∠BDE=60°,
∴△BDE是等邊三角形,
∴DF=BD,BF=BD,
在Rt△AEG中, AE2=AG2+EG2,EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD,
∴,
∴BD=5或BD=-2(捨去),
∴AG=,DG=DF+FG=+3=,
在Rt△ADG中,AD2=AG2+DG2=()2+()2=49,
∴AD=7,
∴BC=7,
故*為:7.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與*質、等邊三角形的判定與*質、勾股定理的應用等,綜合*較強,有一定的難度,正確添加輔助線靈活應用相關知識是解題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:填空題