問題詳情:
.圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AC為對角線,∠DAC=30°,∠ACD=90°,AD=8,點M為AC的中點,動點E從點C出發以每秒1個單位的速度運動到點B停止,連接EM並延長交AD於點F,設點E的運動時間為t秒.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)當∠EMC=90°時,判斷四邊形DCEF的形狀,並説明理由;
(3)連接BM,點E在運動過程中是否能使△BEM為等腰三角形?如果能,求出t;如果不能,請説明理由.
【回答】
解:(1)∵∠DAC=30°,∠ACD=90°,AD=8,
∴CD=4,AC=4.
又∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴四邊形ABCD的面積為4×4=16.
(2)如圖1,當∠EMC=90°時,四邊形DCEF是菱形.
∵∠EMC=∠ACD=90°,
∴DC∥EF.
∵BC∥AD,
∴四邊形DCEF是平行四邊形,∠BCA=∠DAC
.由(1)可知:CD=4,AC=4.
∵點M為AC的中點,
∴CM=2.
在Rt△EMC中,∠CME=90°,∠BCA=30°.
∴CE=2ME,可得ME2+(2)2=(2ME)2,
解得:ME=2.
∴CE=2ME=4.
∴CE=DC.
又∵四邊形DCEF是平行四邊形,
∴四邊形DCEF是菱形.
(3)點E在運動過程中能使△BEM為等腰三角形.
理由:如圖2,過點B作BG⊥AD與點G,過點E作EH⊥AD於點H,連接DM.
∵DC∥AB,∠ACD=90°,
∴∠CAB=90°.
∴∠BAG=180°﹣30°﹣90°=60°.
∴∠ABG=30°.
∴AG==2,BG=2.
∵點E的運動速度為每秒1個單位,運動時間為t秒,
∴CE=t,BE=8﹣t.
在△CEM和△AFM中,
∴△CEM≌△AFM.
∴ME=MF,CE=AF=t.
∴HF=HG﹣AF﹣AG=BE﹣AF﹣AG=8﹣t﹣2﹣t=6﹣2t.
∵EH=BG=2,
∴在Rt△EHF中,ME===.
∵M為平行四邊形ABCD對角線AC的中點,
∴D,M,B共線,且DM=BM.
∵在Rt△DBG中,DG=AD+AG=10,BG=2,
∴BM==2.
要使△BEM為等腰三角形,應分以下三種情況:
當EB=EM時,有,
解得:t=5.2.
當EB=BM時,有8﹣t=2,
解得:t=8﹣2.
當EM=BM時,由題意可知點E與點B重合,此時點B、E、M不構成三角形.
綜上所述,當t=5.2或t=8﹣2時,△BEM為等腰三角形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題