已知函數(a為常數).（1）當a=0時，求曲線y=f(x)在點(e，f(e))處的切線與兩座標軸圍成的三角形的...

問題詳情：

已知函數(a為常數).

（1）當a=0時，求曲線y=f(x)在點(e，f(e))處的切線與兩座標軸圍成的三角形的面積；

（2）若存在使得，求a的取值範圍.

【回答】

（1）；（2）.

【解析】

（1）求出在處的導數值，即切線斜率，再求出，即可求出切線方程，求出切線在座標軸上的截距即可求出三角形面積；

（2）分和兩種情況討論函數的單調*，求出的最小值，滿足即可求出的範圍.

【詳解】

（1）函數f(x)的定義域為(0，+∞)，因為，

當a=0時，，，切線方程為，

令x=0，解，令y=0，解得所以

（2）若要存在使得，則只需f(x)在[1，+∞)上的最小值小於0即可，

當時，在(1，+∞)恆成立，函數f(x)在x=1處取得最小值，

所以，解得；

當時，函數在[1，a)上單調遞減，在[a，+∞)上單調遞增，

則當x=a時取得極小值也是最小值，

由，解得，

綜上可得：a的取值範圍是.

【點睛】

本題考查利用導數求切線問題，考查利用導數研究不等式能成立問題，屬於中檔題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題